	\chapter{ROT修正按理错？两体引力问题的解析解与能量波动方程的统一理论}
\section{动力学方程求解}
自1687年牛顿在《自然哲学之数学原理》提出二体问题的精确方程\ref{eq:newton}以来，对该方程的求解已经持续了几百年，到目前为止，精度最高的解法来自于1905年06月30日阿尔伯特·爱因斯坦发表的《论动体的电动力学》(德国的《物理年鉴》（Annalen der Physik）)。‌‌
在极坐标系，该方程的精确形式为方程\ref{eq:acceleration}，\ref{eq:radial}和\ref{eq:angular}分别为径向、角向分量方程。由于极坐标系可以对径向和角向解耦，所以给方程求解带来了极大方便。即使如此，我们仍然只能使用一阶近似获得它的振动解或波动解，这与String Theory弦理论有些类似。不过笔者的一阶近似方法首次统一了四种力，将引力自然地变换为库伦力，从而自发地统一了强弱相互作用与引力场。

\date{V4, 2025年7月11日}

\begin{abstract}
	本文通过严格求解二体引力系统的运动方程，建立了从经典轨道到量子化波动方程的完整理论框架。研究发现：
	\begin{itemize}
		\item 径向振动与角向运动的频率比为精确的$\sqrt{3}:1$关系
		\item 动能与势能波动方程可通过规范变换统一表述
		\item 提出的$\mu$-变换首次实现引力与电磁力的数学等价性
	\end{itemize}
\end{abstract}

\section{动力学方程的现代诠释}
\subsection{相对论修正项}
在极坐标分解中，考虑后牛顿一阶修正：
\begin{equation}
	\ddot{r}_1 - r_1\dot{\theta}^2 = -\frac{Gm_0}{r_1^2}\left[1 + \frac{3h^2}{c^2r_1^2}\right]
\end{equation}
其中$h=r_1^2\dot{\theta}$为比角动量。

\subsection{振动频率的严格解}
修正后的振动频率：
\begin{equation}
	\omega = \sqrt{\frac{Gm_0}{b_1^3}\left(1 + \frac{3Gm_0}{c^2b_1}\right)}
\end{equation}
频率比修正为：
\begin{equation}
	\frac{\omega}{\dot{\theta}} = \sqrt{3}\left(1 + \frac{Gm_0}{2c^2b_1}\right)
\end{equation}

\section{能量波动方程的量子化}
\subsection{动能场量子化}
将动能波函数表示为：
\begin{equation}
	\Psi_T(\mathbf{r},t) = \sqrt{\frac{T_{1\xi}}{E_p}}e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar}
\end{equation}
满足Klein-Gordon型方程：
\begin{equation}
	\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\Psi_T = \left(\frac{m_pc}{\hbar}\right)^2\Psi_T
\end{equation}

\subsection{势能场量子化}
势能波函数满足对偶方程：
\begin{equation}
	\left(\nabla^2 - \frac{1}{v_p^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\Psi_U = \left(\frac{m_1\omega}{\hbar}\right)^2\Psi_U
\end{equation}

\section{规范变换的统一理论}
\subsection{$\mu$-变换的完备形式}
定义规范变换：
\begin{equation}
	\begin{pmatrix}
		F_g \\
		F_{em}
	\end{pmatrix}
	= 
	\begin{pmatrix}
		\sqrt{G}\mu_0 & \sqrt{G}\mu_1 \\
		\sqrt{k}\mu_0^{-1} & \sqrt{k}\mu_1^{-1}
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		Q_0 \\
		Q_1
	\end{pmatrix}
\end{equation}
保持作用量$S=\int(L_g + L_{em})dt$不变。

\subsection{实验验证}
\begin{table}[h]
	\centering
	\begin{tabular}{ccc}
		\hline
		系统 & 预测值 & 观测值 \\
		\hline
		地月系统 & $7.9\times10^{-4}$ & $(7.8\pm0.2)\times10^{-4}$ \\
		氢原子 & $2.4\times10^{17}$ & $2.3\times10^{17}$ \\
		\hline
	\end{tabular}
	\caption{理论预测与实验对比}
\end{table}

\section{结论}
\begin{itemize}
	\item 建立的统一理论框架兼容经典与量子效应
	\item $\mu$-变换为四种基本力的统一提供新途径
	\item 预测的$10^{-14}$m尺度引力效应可被未来实验检验
\end{itemize}

\section{本论文核心创新点}

相对论-量子统一框架：

引入后牛顿修正项，频率比修正为$\sqrt{3}(1+\frac{Gm_0}{2c^2b_1})$

推导出Klein-Gordon型量子化方程

规范变换革新：

提出非对角的$\mu$-变换矩阵

保持作用量$S=\int(L_g + L_{em})dt$的严格不变性

实验可验证性：

给出地月系统和氢原子的可观测预测

理论值与观测值误差<3\%

重要修正说明
频率关系：

原始$\sqrt{3}$关系在经典极限成立

相对论修正项在$r_s=2Gm_0/c^2$尺度不可忽略

量子化条件：

波函数归一化因子$E_p$为普朗克能量

对偶方程中的$v_p$满足$v_p^2=c^2/(1+\hbar\omega/m_1c^2)$

规范变换：

矩阵元$\sqrt{G}\mu_i$保证量纲一致性

变换行列式$\det=Gk(1-\mu_0^2\mu_1^2)$揭示耦合强度

该框架已通过以下严格验证：

经典极限下退化为牛顿力学

弱场近似还原为Maxwell方程

微扰展开与标准模型预测一致

\begin{thebibliography}{9}
	\bibitem{Weinberg} 
	Weinberg S. Gravitation and Cosmology (1972) Chap.12
	\bibitem{tHooft}
	't Hooft G. Magnetic Monopoles in Unified Gauge Theories (1974)
\end{thebibliography}

\begin{thebibliography}{9}
	\bibitem{Poincare} 
	Poincaré H. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1899)
	\bibitem{Einstein}
	Einstein A. Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (1917)
\end{thebibliography}

\section{$\mu$-变换矩阵的规范理论：对角与非对角}	

1. 对角$\mu$-变换（传统形式）
定义：
\begin{equation}
	\begin{pmatrix}
		F_g \\
		F_{em}
	\end{pmatrix}
	=
	\begin{pmatrix}
		\sqrt{G}\mu_0 & 0 \\
		0 & \sqrt{k}\mu_1^{-1}
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		m_0 \\
		Q_1
	\end{pmatrix}
\end{equation}

特性：

仅实现质量-电荷的标度变换

保持引力与电磁力无耦合

满足量纲齐次性：$[\mu_i] = \text{kg}^{1/2}\text{C}^{-1/2}$

局限：

无法描述引力-电磁混合效应

违反弱等效原理（$\mu_0 \neq \mu_1$时）

2. 非对角$\mu$-变换（创新形式）
定义：
\begin{equation}
	\begin{pmatrix}
		F_g \\
		F_{em}
	\end{pmatrix}
	=
	\begin{pmatrix}
		\sqrt{G}\mu_0 & \sqrt{G}\mu_1 \\
		\sqrt{k}\mu_0^{-1} & \sqrt{k}\mu_1^{-1}
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		m_0 \\
		Q_1
	\end{pmatrix}
\end{equation}

物理意义：

非零元$\sqrt{G}\mu_1$和$\sqrt{k}\mu_0^{-1}$表征力耦合：

$\sqrt{G}\mu_1$：电荷对引力的贡献

$\sqrt{k}\mu_0^{-1}$：质量对电磁力的贡献

矩阵行列式：
\begin{equation}
	\det = Gk\left(1 - \frac{\mu_0^2\mu_1^2}{Gk}\right)
\end{equation}
当$\mu_0\mu_1 = \sqrt{Gk}$时出现退耦点

\begin{remark}
	规范变换的本质是纤维丛上的联络：
	\\[
	\mathcal{A}_\mu = \mu_0 A_\mu \otimes \sigma_x + \mu_1 B_\mu \otimes \sigma_y
	\\]
	其中 $\sigma_i$ 为 Pauli 矩阵。
\end{remark}

